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ELECCIÓN DE CUATRO PROBLEMAS GEOMÉTRICOS PARA UNA INVESTIGACIÓN SOBRE LA COMPRENSIÓN DE PROPIEDADES GEOMÉTRICAS. UNA JUSTIFICACIÓN

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   ELECCIÓN DE CUATRO PROBLEMAS GEOMÉTRICOS PARA UNAINVESTIGACIÓN SOBRE LA COMPRENSIÓN DE PROPIEDADES GEOMÉTRICAS.UNA JUSTIFICACIÓN.Ricardo Barroso CamposUniversidad de SevillaIntroducción.  Hacer un estudio de la comprensión de propiedades geométricas y analizar si el usodel programa de simulación geométrica Cabri-Géomètre ayuda a la misma consideramosque puede aportar consideraciones didácticas para la enseñanza y aprendizaje de la geometría. Para ello se ha elegido entre diversos instrumentos cuatro problemas geométricos. En esta comunicación se presentan y justifican dichos problemas teniendo encuenta que los alumnos a los que se dirige el estudio son estudiantes para profesor de Primaria.   Abstract To make a study of the understanding of geometric properties and toanalyze if the use of the program of geometric simulation Cabri-Géomètre helpsthe same one we considered that it can contribute to didactic considerations for education and learning of geometry.For it one has chosen between diverse instruments four geometric  problems.In this communication these problems appear and justify considering that the students to whom he goes the study are students for Primary teacher. INTRODUCCIÓN La investigación pretende desde el paradigma de investigación-acción observar si elordenador (en este caso el programa de geometría dinámica Cabri II) ayuda a lacomprensión de propiedades geométricas. Tras una fase de inmersión en el Programa, con   sesiones de introducción al mismo, a un grupo de alumnos de Primaria de la Facultad deCiencias de la Educación de la Universidad de Sevilla estructurados en parejas o tríos, seles propondrá en primer lugar varios problemas geométricos de inmersión para suresolución con lápiz y papel, y, posteriormente, con Cabri.Una vez familiarizados con el Programa, se les propondrán a los mismos alumnoslos cuatro problemas presentados en este documento, de nuevo con lápiz y papel y despuéscon Cabri en los que entendemos pueden poner de manifiesto sus conocimientosgeométricos. Para Laborde, y Capponi (1994), una figura no se refiere a un objeto sino auna infinidad de objetos. Lo que es invariante son las relaciones entre los objetos. Lafigura según Laborde y Caponni (1994) consiste en un referente dado a todos susdibujos, y es el conjunto de parejas de dos términos, siendo el primero el referente yel segundo los dibujos que lo representan; se toma en el universo de todos los posibles dibujos del referente.Para Laborde y Capponi (1994), un dibujo geométrico no es necesariamenteinterpretado por un lector como un objeto geométrico, y las interpretaciones de unmismo objeto son múltiples tanto por las interpretaciones del lector y susconocimientos como por la naturaleza misma del dibujo, que por sí mismo no puedecaracterizar un objeto geométrico.Señalan que Cabri permite la puesta en evidencia aspectos tradicionalmenteabandonados de la enseñanza de la geometría, así como que permite poner enevidencia aspectos invariantes de una figura observando numerosos dibujos con lasmismas propiedades geométricas. Se analizarán los resultados desde una perspectiva inductiva, teniendo como marcoteórico de referencia la tríada de Piaget y García (1982): nivel intrafigural, interfigural ytransfigural, además de hacer un intento por establecer un determinado entorno acerca de la propiedad que se debe establecer, y observar si los alumnos se sitúan cerca o lejos de lamisma.De los datos obtenidos y las correspondientes comparaciones entre un recurso yotro, esperamos obtener resultados acerca de nuestro propósito. PRESENTACIÓN DE LOS PROBLEMAS   Los problemas se han elegido teniendo en cuenta el nivel de los alumnos, las propiedades geométricas implicadas y lo que los autores de correspondientes han puesto demanifiesto con relación a las propiedades geométricas implicadas.Además, hacemos un análisis de las posibles implicaciones. Estos serían los cuatro problemas preparados. PRIMER PROBLEMA  Sean ABC un triángulo rectángulo y P un punto móvil en lahipotenusa BC. Si I está en AB y J en AC son tales que PI es perpendicular a AB y PJ es perpendicular a AC, ¿existe unasituación en la que IJ tiene un valor mínimo?Señala Gravina (1996) que asociada a una propiedad geométrica siempre tenemosuna configuración, es decir, objetos geométricos en relación a sus componentes conceptualy figural. Deducir una propiedad significa establecer una cadena lógica de raciociniosconectando las propiedades del enunciado tomadas como presupuestos (hipótesis) a las propiedades las propiedades que se quieren demostrar (tesis).Pues bien, en este problema, indica que los alumnos hacen de manera natural una primera conjetura,  IJ es mínimo cuando AIPJ es un cuadrado, ya que un cuadrado es un caso particular entre todos los rectángulos AIPJ así como el mínimo de un valor  particular para los segmentos IJ.      Ilustración 1 Esta conjetura (Ilustración 1) permanece estable durante algún tiempo, apoyándoseen el aspecto visual del segmento IJ en términos de su tamaño.Los participantes en esta investigación de Gravina, eran estudiantes para profesor dela Universidad Federal de Rio Grande del Sur (Brasil).Consideramos que esta primera conjetura está fundamentada en el hecho de ser elcuadrado un objeto geométrico muy conocido por los estudiantes y con la propiedad de ser el rectángulo que tiene mayor área de todos los que tienen el mismo perímetro,.Señala Gravina (1999) que tal conjetura es cierta para triángulos rectángulosisósceles, y que tal comportamiento evidencia una imagen mental que guarda un triángulo prototípico, el de los triángulos rectángulos tales que las medidas de los catetos sonsimilares.Utilizando los recursos de “dibujo en movimiento” y medición de segmentosofrecidos por el programa Cabri, los alumnos comienzan a explorar situaciones diferentesde las prototípicas:    Ilustración 2 La conjetura inicial no se sostiene más. Señala Gravina que surge de manera naturalla pregunta: “¿Qué particularidad tiene un rectángulo AIPJ determinado para garantizar el valor mínimo para IJ?”  Haciendo un análisis puramente visual y experimental, los alumnos perciben lasolución del problema (Ilustración 2).En nuestra opinión, este problema se puede “ver” bajo la perspectiva de Fischbein(1993) de figural concept, según la cual, el razonamiento matemático no se refiere a objetosmateriales o a sus dibujos.Para Fischbein, los objetos materiales son sólo modelos materializados de entidadesmentales con las que tratan las matemáticas.Sólo en un sentido conceptual puede ser considerada la perfección absoluta de lasentidades geométricas: líneas rectas, círculos, cuadrados, cubos, etc..Una figura geométrica puede ser descrita como teniendo intrínsecamente, propiedades conceptuales. No es un simple dibujo sobre un papel. Es una figura controlada por su definición, y a partir de sus propiedades iniciales se pueden ir descubriendo otras.
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