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El proceso de definir en matemáticas. Un caso: el triángulo

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  INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 285ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (2), 285-295 EL PROCESO DE DEFINIR EN MATEMÁTICAS.UN CASO: EL TRIÁNGULO BARROSO CAMPOS, RICARDODepartamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. SUMMARYDeparting from two protocols that show the difficulties presented to define the triangle in primary school pupils, andthrough a theoretical framework based on Orton (1990), Herskhovits (1990), Tall and Vinner (1981) and Van Hiele(1981) to establish the meaning that the definition has in Mathematics, we accomplish a summary of definitions of theconcept of triangle in various srcinal texts, as well as in material and computer programs.A short analysis of the definitions presented is accomplished and we offer certain theoretical evaluations to justify theanswers given by the students. INTRODUCCIÓN Protocolo 1 –  Entrevistador  : ¿Qué es un triángulo?–  M. Teresa (Alumna de 4º de primaria) : Hum... (Sin saber quédecir.)–  Ent. : Si te digo que dibujes, en este papel, uno, ¿sabeshacerlo?–  M.T. : ¡Claro que sí! Protocolo 2 –  Ent. : (Señalando un triángulo rectángulo con los catetosparalelos a los límites del papel, en una lámina con triángulosy figuras mixtas curvilíneas de uno, dos o tres arcos) ¿Es estoun triángulo?– Estefanía (Alumna de 3º de primaria): No... (Se quedapensando.)–  Ent. : ¿Por qué...?– Estefanía: Le falta esta parte (Señalando con el dedo unatrayectoria geométrica que completa un isósceles.) para serlo. Estos dos protocolos realizados con alumnas de uncolegio de primaria muestran:– El primero, las dificultades para expresar unadefinición personal del concepto (  personal concept definition  (Tall y Vinner, 1981)) de un polígonofundamental como es el triángulo, aunque se tengapor parte del alumno un determinado componente delesquema conceptual (Azcárate, 1992) ( concept image , Tall y Vinner, 1981) y sea capaz de hacer undibujo.– El segundo, que la imagen prototípica que la alum-na ha fijado en su mente le hace negar que la figurapresentada sea un triángulo (porque no se parece a loque se le ha enseñado a identificar como tal), lo quesitúa a esta alumna en el nivel 1 de Van Hiele, dereconocimiento o visual (Hoffer, 1981; Clements yBattista, 1992). La misma alumna le da atributosirrelevantes como relevantes (ser isósceles, en estecaso, como necesario para constituir triángulo) segúnel esquema de Hershkowitz (1990).  INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 286ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (2) En este artículo presentamos un análisis de la definicióntanto formal como personal de conceptos matemáticos,viendo determinadas implicaciones en el proceso deenseñanza-aprendizaje y centrándonos en el caso deltriángulo. Se muestran varias definiciones formales pre-sentadas en textos de diferente procedencia, clase y añode edición, así como la manera en que se puede definiry construir con varios materiales y con tres programas deordenador.En el momento actual, los recursos que el profesor dematemáticas de cualquier nivel educativo puede tener encuenta para planificar sus acciones, llevarlas a cabo en elaula y reflexionar sobre los resultados (fases preactiva,activa y posactiva del proceso enseñanza-aprendizaje)son los textos, materiales y programas de ordenador.Debido a ello, los consideraremos para mostrar cómo lasdefiniciones formales de  triángulo  expuestas en los dife-rentes textos, las utilizaciones de los materiales para cons-truir triángulos y la manera cómo los programas de orde-nador (de simulación geométrica) trazan triángulos sobrela pantalla pueden influir tanto en las definiciones perso-nales como en los esquemas conceptuales de los alumnos. LA DEFINICIÓN DE CONCEPTOS MATE-MÁTICOS Según Orton (1990), no se puede esperar que los estu-diantes aprendan a través de definiciones, siendo nece-sario utilizar ejemplos y contraejemplos para la defini-ción de un concepto matemático. Para este autor, seaprende la triangularidad a través de ejemplos de trián-gulos y del contraste con otras formas.Probablemente, Estefanía no había recibido suficienteformación en cuanto a ejemplos y contraejemplos deltriángulo, llevando las propiedades de determinado tipo(isósceles) a la categoría de condición necesaria para sertriángulo.Según Tall y Vinner (1981) «La mente humana no espuramente lógica; la forma compleja como funcionavaría a menudo de la lógica matemática. El comprendercómo ocurre este proceso, tanto con éxitos como conerrores, nos lleva a formular una distinción entre elconcepto matemático formalmente conocido y el proce-so cognitivo por el que se concibe [...] El esquemaconceptual ( concept image ) describe la estructuracognitiva completa que está asociada al concepto, coninclusión de todas las imágenes mentales, propiedades yprocesos asociados al mismo. Se construye a lo largo delos años, mediante experiencias de todo tipo, cambiandocuando   el individuo se encuentra con nuevos estímulosy hechos.» (p. 151).Vinner (1991) señala que «el esquema conceptual esalgo no verbal asociado en nuestra mente con el nombredel concepto. Puede ser una representación visual delconcepto en el caso de que éste tenga representacionesvisuales [...]»Tall y Vinner (1981) establecen la definición de unconcepto o «concepto definición» ( concept definition )como «las palabras usadas para especificarlo. Puede serpersonal o formal, siendo esta última la que es aceptadapor la comunidad matemática» (p. 152).M. Teresa carecía del «concepto definición» del triángu-lo, aunque tenía un componente del esquema conceptualdel mismo (una representación mediante un dibujo). Hershkowitz, 1990, p. 82. Definición del conceptoClasificaciónUn conjuntomínimoAtributosrelevantesEjemplos(positivos) delconceptoTodosAlgunosAtributosirrelevantesAlgunosEjemplosnegativos delconceptoAlgunos Para Hershkowitz (1990), las relaciones entre los atribu-tos del concepto quedan reflejadas en el esquema ante-rior. Señala que el prototipo es la base para el juicioprototípico. Para cada concepto, los individuos usan elejemplo prototípico como un modelo en su juicio deotros casos.En el protocolo 2 se puede observar claramente que laalumna ha establecido un determinado prototipo (eltriángulo isósceles o el equilátero) para sus juicios;es decir, ha atribuido lo que es un atributo irrelevante,el tener dos lados iguales, que poseen algunos trián-gulos (los isósceles) como relevante y necesario para sertriángulo.Para determinados análisis se utilizarán los niveles derazonamiento geométrico de van Hiele, el cual consta decinco niveles (Hoffer, 1981).  Nivel 1 : Reconocimiento. El estudiante aprende algo devocabulario y aprende la forma como un todo.  Nivel 2 : Análisis. El estudiante analiza las propiedadesde las figuras.  Nivel 3 : Ordenación. El estudiante ordena lógicamentelas figuras y comprende las interrelaciones y la impor-tancia de definiciones precisas.  INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (2)287 APROXIMACIÓN MEDIANTE DIVERSOSTEXTOS DE LA DEFINICIÓN DE TRIÁN-GULO ¿Cómo se define el triángulo en los textos? Revisaremosvarios, que tienen diversas aplicaciones y usos, haciendodeterminados análisis.Debido a su carácter excepcional, comenzaremos estarevisión por un libro antológico. El  Euclidis Elemento-rum en la traducción de Federici Commandini en laversión latina de Simson, conservado en la bibliotecauniversitaria de la universidad hispalense. Según Puer-tas (1991), ésta señaló un paso a una fase superior delproceso de depuración y rigor de las versiones de los  Elementos.  Se utilizó sabiamente por Commandini elmaterial que tenía a su disposición: teoninos y escoliosque se conservaban en el Vaticano. Fue una versióninfluyente hasta que apareció la versión de Peyrard(1814-1818).En su página 4, dice:  Nivel 4 : Deducción. El estudiante comprende el signifi-cado de deducción y del papel de los postulados, teore-mas y demostraciones.  Nivel 5 : Rigor. El estudiante comprende la importanciade precisión en el trato de la fundamentación e interre-laciones entre estructuras.Estefanía había aprendido vocabulario y consideraba laforma como un todo, lo que la situaba en el nivel 1.Los cuatro marcos teóricos referenciados, consideramosque están relacionados entre sí. La relación entre losejemplos y contraejemplos propuestos por Orton y losatributos relevantes e irrelevantes indicados porHerskhovitz, entendemos que pueden dan lugar a un entra-mado para la construcción del concepto, logrando que seforje en el alumno un esquema conceptual adecuado.También se podría alcanzar con dicho entramado el nivel2 de van Hiele, de manera que el alumno fuese capaz deestablecer y aplicar definiciones mediante el análisis de laspropiedades de la figura, en este caso del triángulo. Reproduccón de la portada y de la página 4 del  Euclidis Elementorum  (1756),autorizada por la Biblioteca Universitaria de la Universidad Hispalense.  INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 288ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (2) «XX. Rectilinae figurae sunt, quae rectis conteniturlineis.»XXI. Trilaterae quidem, quae tribus.» Obras generales sin implicaciones matemáticas Comenzamos la revisión desde una perspectiva cultural.La  Enciclopedia Universal Ilustrada Europeo America-na,  de Espasa Calpe (1966), dice: « Triángulo , la, F., In.,y C. Triangle, It. Triangolo, A. Dreleck, P. y E. Triángu-lo. (Etim. del latín triangulus ), n. Geom. Figura forma-da por tres líneas que se cortan mutuamente ». Esta obradedica 31 páginas a considerar múltiples propiedadesy teoremas. La expresión matemática líneas  es im-precisa.En la Gran Enciclopedia Larousse  (1977), se dedica altérmino casi una página, indicando su etimología, dellatín triangulum , y siendo su segunda acepción: «n.m.Figura formada por tres puntos no alineados, y por tressegmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son losvértices, y los tres segmentos, los lados)». Esta defini-ción no considera triángulo al «degenerado» (¿Es trián-gulo la figura formada por tres segmentos sobre trespuntos alineados?...).En la  Encyclopædia Britannica  de Benton Publisher(1982), se encuentra: «Triangle, geometrical figure for-med by three points that are not on a line.» (Triángulo,figura geométrica formada por tres puntos que no estánalineados). Se hace inmediatamente distinción entre eltriángulo plano y el esférico. Es la única obra consultadaque hace esta distinción en la definición. Al igual que laanterior obra, excluye el triángulo «degenerado».El  Diccionario de la Lengua Española Cumbre de Everest   (1990), indica: « Triángulo:  m. Figura forma-da por tres líneas que se cortan.» Esta obra es de usoescolar.En el  Diccionario de la Lengua Española, de la Real Academia Española  (1992), el triángulo tiene tresacepciones. La segunda es la que nos interesa «2. m.Geom. Figura formada por tres rectas que se cortanmutuamente formando tres ángulos».Esta definición es casi la única que incluye el hecho deformar tres ángulos, el cual subyace en la etimología dela palabra (tri-ángulo). Es significativo que al polígonode cuatro lados en lugar de denominarlo cuadrángulo ledenominemos cuadrilátero quizá por considerarse quecuadrángulo es una cacofonía. Obras que son específicas para consulta de matemá-ticas sin ser libros de texto En este apartado, revisamos cinco diccionarios o formu-larios de matemáticas, que pueden formar parte de labiblioteca matemática de un profesor.En el Formulario Matemático del Bachiller, de SM(1949), en  Manuale Sintetico di Matematica , de Bèvesi(1989) y en el  Diccionario Oxford de Matemáticas,  deClapham (1992) no aparece ningún epígrafe dedicadoexpresamente al concepto, aunque sí a algunas de suspropiedades; así, por ejemplo, «expresiones de las medi-das de lados y otros elementos en los triángulos [...]» enel primero de ellos.Interpretamos que la falta de una definición se debe aque, por ser una figura muy elemental, los autores no lahan considerado necesaria, dando por supuesto que ellector a quien se dirige el libro conoce el conceptoy su definición, comenzando directamente por suspropiedades.En el  Diccionario Básico de Matemáticas , de Díaz (1980),se define como «polígono de tres lados o ángulos».En Geometría sin esfuerzo , de Sánchez (1983), se tienecomo definición y características de un triángulo: «Seentiende por triángulo una porción de plano limitada portres rectas que se cortan dos a dos. Se representa por elsímbolo ∆ .»En esta definición se hace una consideración acerca delsímbolo que puede hacer comprender la respuesta dadaen el protocolo 2 por la alumna de 3º de primaria, alvisualizar de manera prototípica el triángulo, identifi-cándolo con la imagen que se le muestra. Obras de texto En este apartado consideramos imprescindible haceruna división temporal, debido a que en los años sesentase produjo un movimiento estructuralista formal en loque se llamó matemática moderna  y que se reflejó, comoveremos, en los libros de texto. En primer lugar, revisa-remos textos hasta 1960. En segundo lugar, se agruparántextos que se publicaron desde 1961 hasta 1973 y, entercer lugar, desde 1974 hasta nuestros días.Desde una perspectiva didáctica, las definiciones quepresentan estos textos son un referente de suma impor-tancia para este artículo. A veces, en el desarrollo de lalabor del profesor y en el estudio realizado por losalumnos, el libro de texto ha sido el único guía en elproceso de enseñanza-aprendizaje. a) Obras de texto en el período 1884 a 1960 En el Tratado de Geometría Elemental, de Cortázar(1884), en cuya página 2 hay una indicación acerca de las«copias» que en aquellos tiempos quizá se prodigasen,se indica: «Habiéndose impreso subrepticiamente enParís las obras de Juan Cortázar, se hace presente quetodos los ejemplares de dicha procedencia están plaga-dos de errores tan perjudiciales para los que se propon-gan estudiar en ellos como lo ha sido la falsificación paralos intereses del legítimo propietario, que hace la publi-cación solamente en Madrid.» En ella se define: «Sellama triángulo al polígono que tiene tres lados.»  INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (2)289 En  Nociones y Ejercicios de Aritmética y Geometría,  deRuiz (1926), Tratado de Geometría de Tercer Grado,  deBruño (1950) y  Matemáticas del Primer Curso de Ba-chillerato,  de Baratech-Estevan (1958), se indica que«triángulo es el polígono de tres lados».En  Matemáticas. Reválida Elemental, 4º  , de Marcos yMartínez (1960), obra en cuya portada se observa a dosalumnos que están haciendo un cono con una cartulina,se tiene en la lección 14. «Triángulos 157. Definicionesy clasificación. “Triángulo es una porción de superficieplana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.”»Junto a la obra Geometría sin esfuerzo,  de Sánchez(1983) son las únicas consultadas en las que aparece enla definición la palabra  porción. En Geometría. Curso Superior,  de Bruño (1960), seseñala: «Capítulo II: Triángulos. § 1- Generalidades. 57.Definición. “Triángulo es la figura plana formada poruna poligonal cerrada de tres lados. O de otro modo, unpolígono convexo de tres lados y tres ángulos. O tam-bién, la figura formada por tres rectas que se cortan dosa dos.”»Éste es el único texto de esta selección en el que el autorhace referencia de tres definiciones. Es de reseñar elénfasis colocado en la segunda definición al indicar queel polígono debe ser convexo, por dos motivos.En primer lugar, es la única vez que aparece el concepto  polígono   convexo  en esta revisión de definiciones.En segundo lugar, habiendo dado el autor previamente ladefinición de  polígono convexo,  «Un polígono se llamaconvexo cuando todos sus puntos están en el mismosemiplano respecto a uno cualquiera de sus lados», esuna redundancia incluir dicha característica en la defi-nición. b) Obras de texto desde 1961 hasta 1973 En  El mundo de los números. 5º curso,  de Osuna y otros(1967), se indica: «Los triángulos y sus propiedades: “Eltrozo de plano limitado por 3 segmentos de recta se llamatriángulo.”»En Fundamentos de geometría,  de Coexeter (1971) sededica el primer capítulo al triángulo, pero sin dar unadefinición del mismo. Es un estudio espléndido de pro-piedades y teoremas.En  Matemáticas 5º curso de educación general básica ,de Prada y Cela (1971), se dice en al apartado deltriángulo. «1 triángulo. “1.1 Dibuja un ángulo MBP y larecta b,  que no pase por el vértice B y que corte a loslados del ángulo como indica la figura 1 1.2 Colorea ennaranja la intersección del ángulo MBP con el semiplanode borde b, que contiene al punto B. Esta intersección sellama triángulo.”»Había hecho su irrupción la denominada  matemáticamoderna.  Los autores indican en la introducción: «Estelibro está concebido como un instrumento al servicio deltrabajo personal del alumno orientado por el maestro queasume así la noble función de guía y orientador.»Aunque no está en el objetivo de esta revisión de ladefinición del triángulo, consideramos significativo delo que ocurría en la época incluir la definición de polígo-no realizada por estos autores: «Al conjunto de triángu-los, cada uno consecutivo con el siguiente, como lo sonlos de la figura 1, le llamarás polígono.» (Sin comenta-rios...) Figura 1Prada y Cela, 1971, p. 173. En  Matemática moderna, primer curso de segunda ense-ñanza, de Vázquez y Ramos (1972), se indica sobretriángulos: «Definamos dos puntos sobre una recta ytomemos un tercer punto que no esté contenido en ella y,uniendo los otros puntos con él, veremos que hemospodido definir tres segmentos. Los tres puntos no estánalineados. Entonces, podemos decir: si en un plano setienen tres puntos no alineados y éstos se unen por mediode segmentos, la figura formada se llama triángulo. Launión del conjunto de puntos interiores y los del contor-no representan una región triangular.»Estos autores son, con Jiménez y González (1973), losúnicos de todos los textos consultados que diferencianentre contorno (frontera en el caso que veremos a conti-nuación de Jiménez y González) del triángulo y la regióninterior del mismo.Además, aparece el concepto matemático conjunto , quede alguna manera aglutinó y marcó la denominada (comoel libro en cuestión) matemática moderna. Explícita-mente descarta, de los triángulos, el triángulo «degene-rado».En  Matemáticas 6º, Libro de Consulta del Alumno , deJiménez y González (1973), de considera: Concepto detriángulo: «Un ángulo convexo es el conjunto de semi-rrectas contenidas dentro de la región angular AOB y
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